числення предикатів

ЧИСЛЕННЯ ПРЕДИКАТІВ - розділ логіки формальної, в якому логіку предикатів подано як логічне числення. За систему аксіом у Ч. п. приймають усю систему аксіом числення висловлювань, до якої додають аксіоми, що відображають специфіку логіки предикатів. За основні правила виводу, як і в численні висловлювань, в Ч. п. беруть правило відокремлення і правило підстановки з певними уточненнями. Ч. п., таким чином, можна розглядати як розширене числення висловлювань. Розрізняють вузьке Ч. п. (функціональне числення першого порядку), коли кванторами пов'язуються лише предметні змінні, і розширене Ч. п. (функціональне числення вищих порядків), коли кванторами пов'язуються змінні предикатів і змінні висловлювань.

ЧИСЛЕННЯ КЛАСІВ - розділ сучасної логіки, що за своїм змістом збігається з логікою класів, але відрізняється від неї за формою побудови. В системі логічних теорій Ч. к. утворюється як формальна алгебра тотожних перетворень за аналогією з булевою алгеброю (висловлювань), але як фрагмент теорії множин. Ч. к. охоплює аристотелеву силогістику, чого не можна досягти в численні висловлювань. Оскільки кожний клас можна подати через відповідний предикат, то числення класів перетворюється на фрагмент числення предикатів.

ЧИСЛЕННЯ ВИСЛОВЛЮВАНЬ - пропозиційне числення - розділ математичної логіки, який за обсягом збігається з логікою висловлювань і є її формальною побудовою. Існує багато шляхів формальної побудови логіки висловлювань, тобто можливі різні Ч. в. Проте при побудові кожного Ч. в. треба насамперед визначити його мову, тобто вказати вихідні символи (знаки логічних операцій - λ v Z> для заперечення, кон'юнкції, диз'юнкції, імплікації; пропозиційні змінні р, q, г...', дужки) і правила утворення формул із символів. В Ч. в. синтаксично визначаються правильно побудовані формули. Серед них вибираються аксіоми, що розглядаються як тавтології, тобто такі формули, які при всіх наборах значень для змінних, що їх складають, виявляються істинними. З аксіом за допомогою фіксованих правил виводу одержують теореми або доведені формули. Розрізняють класичне Ч. в. (яке містить у собі виключеного третього закон і класичне розуміння заперечення), а також різні некласичні Ч. в. Термін "Ч. в." вживають як синонім терміна "класичне числення висловлювань". Ч. в. становить основу формальної побудови всіх інших логічних теорій (див. числення предикатів), а завжди істинні формули Ч. в. використовуються як правила доведення наукових положень.

ЧИСЛЕННЯ - спосіб розв'язування задач у багатьох наукових теоріях, за яким кінцевий результат одержують шляхом оперування символами, прийнятими в цих теоріях для виразу їхніх об'єктів, за строго визначеними правилами. Розв'язування задач у вигляді Ч. проходить два етапи. Перший етап передбачає визначення необхідних символів і встановлення правил побудови з них формул і правил виводу одних формул з інших. При цьому повністю абстрагуються від конкретного змісту задачі, тому в результаті одержують певну систему символів, яку часто називають формалізмом. Другий етап - це інтерпретація одержаних формалізмів. До кожного Ч. висувають ряд вимог, зокрема: воно повинно бути ефективним, тобто приводити до розв'язання задачі через скінченне число дій. Характерною особливістю Ч. є автоматизм його виконання, що дає змогу застосовувати для розв'язування найскладніших задач обчислювальні машини. Важливу роль Ч. відіграють у математиці й логіці, особливо сучасній, де Ч. використовують не тільки для розв'язування окремих задач, а й для побудови цілих теорій (див. формалізація). Про окремі приклади Ч. див. Числення висловлювань і Числення предикатів.

ЛОГІЧНІ ЧИСЛЕННЯ - формалізовані дедуктивні системи, подані разом з їх інтерпретацією. Традиція використовувати числення для представлення знань і вирішення задач певного виду має походження з геометрії Евкліда. Прикладами числень є диференціальне й інтегральне числення, що розроблені в працях Ньютона та Ляйбніца і становлять основу математичного аналізу. Уточнення цього поняття здійснене в логіці математичній. Загальна теорія числень побудована Гільбертом, який, до того ж, дав аксіоматичне представлення геометрії Евкліда. Першими власне Л.ч. є алгебра логіки Буля, а також числення висловлювань та поширене числення предикатів Фреге, які частково втілюють ідею Ляйбніда про універсальну мову, що формалізує будь-які міркування. Базовими Л. ч. є числення висловлювань і числення предикатів.

АКСІОМАТИЧНА ТЕОРІЯ МНОЖИН - формулювання вчення про множини у вигляді аксіоматичної системи (див. аксіоматичний метод). Стимулом до побудови А. т.м. було відкриття антиномій у т. зв. наївній теорії множин. Ці суперечності зумовлені необмеженим застосуванням у наївній теорії множин принципу згортання (або абстракції), згідно з яким для кожної властивості існує множина, що складається з усіх предметів, які мають цю властивість, і тільки з них. Існують два основні підходи до побудови А.т.м. Логічною основою одного з них є числення предикатів першого порядку. Другий базується на системі числення предикатів з багатьма рівнями змінних. Побудови А.т.м. мають важливе гносеологічне значення. Нині нагромаджено великий методологічний досвід з аксіоматизації теорій, з методів доведення несуперечливості, повноти і незалежності системи аксіом, із засобів усунення парадоксів, що виникають всередині наукових теорій; вдалося уточнити постановку низки логіко-методологічних проблем, зокрема, проблеми існування абстрактних об'єктів.

СИЛОГІСТИКА ( від грецьк. σνλλογιστικοζ - той, що робить умовивід) - розділ традиційної формальної логіки, в якому вивчають особливі види дедуктивних умовиводів (силогізми); перша, сформульованаАристотелем, логічна теорія дедуктивного виводу, який ґрунтується на врахуванні суб'єктно-предикативної структури висловлювань (суджень). У С. вивчають структуру силогістичного умовиводу, виділяють його види, з'ясовують, за яких умов з одного, двох або більше висловлювань - засновків з необхідністю випливає нове висловлювання - висновок, визначають, які модуси силогізму є правильними умовиводами, а які хибними і чому. Формалізація С. виявила, що вона може бути узагальнено виражена через числення предикатів. С. недостатня для опису всіх видів дедуктивних міркувань. У сучасній математичній логіці С. як окремий розділ не виділяють.

ЛОГІКА МАТЕМАТИЧНА - розділ логіки і математики, в якому досліджуються проблеми обґрунтування у математиці, методи доведення, розробляються засади математики (передусім - теорія множин). У Л.м. виділяють розділи - теорія доведення, теорія моделей; до неї також відносять засади математики та теорію алгоритмів (або вужче - теорію рекурсії). Ідею побудови Л.м. як формального числення для математики, а також для усіх дедуктивних наук, логіки й філософії висунув ще у XVII ст. Ляйбніц. Початок застосуванню математичної символіки для виразу формально-логічних теорій у логічних численнях поклали англ. математик і логік Буль, шотландськ. математик і логік Морган, амер. філософ і логік Пірс та ін. Основні поняття Л.м. - висловлювання, предикат, квантор, логічна операція, модель, логічне числення.